Rozklad na součin

*NSD = největší společný dělitel zde více

Vytýkání

Co je vytýkání?

Vytýkání je matematická technika, která umožňuje zjednodušit algebraické výrazy. Spočívá v nalezení společného činitele, který je přítomen ve všech členech výrazu, a jeho vyjmutí před závorku. Tato metoda je často používána při řešení rovnic nebo při úpravách výrazů, aby byly přehlednější a snadněji zpracovatelné.

Například ve výrazu 6x + 9 můžeme vidět, že obě čísla, 6 a 9, jsou dělitelná číslem 3. Toto číslo tedy můžeme „vytknout" před závorku.

Jak na to?

Postup při vytýkání lze shrnout do několika kroků:

1. Najděte největší společný dělitel (NSD):
   Určete číslo nebo výraz, který je společným dělitelem všech členů daného výrazu.

2. Vytkněte NSD před závorku:
   Toto číslo nebo výraz zapíšete před závorku. V závorkách zůstane každý člen výrazu vydělený NSD.

3. Zkontrolujte výsledek:
   Roznásobte závorku zpět, abyste se ujistili, že jste výrazy správně upravili.

Tento proces lze aplikovat na jakýkoliv algebraický výraz, pokud existuje společný činitel.

Příklady

Uvažujme výraz: 6x + 9

Kroky:

• Identifikujeme NSD pro čísla 6 a 9: je to 3.
• Vytkneme číslo 3 před závorku:
  6x + 9 = 3(2x + 3)
• Výsledný výraz po vytknutí:
  3(2x + 3)

Kontrola:
Pokud znovu roznásobíme, dostaneme původní výraz:
3(2x + 3) = 6x + 9. Úprava je tedy správná.

Příklad 1: Vytkněte ve výrazu 8x² + 12x

• NSD pro 8 a 12 je 4. Proměnná x je společná v obou členech.
• Výsledkem je: 4x(2x + 3)

Příklad 2: Zjednodušte výraz 15y³ - 10y² + 5y

• NSD pro čísla 15, 10 a 5 je 5. Nejnižší mocnina proměnné y je y.
• Výsledkem je: 5y(3y² - 2y + 1)

Vytýkání mínusu

Příklad: Zjednodušte výraz -6x - 9

• Identifikujeme, že obě čísla, -6 a -9, jsou dělitelná -3.
• Vytkneme -3 před závorku:
  -6x - 9 = -3(2x + 3)
• Výsledný výraz po vytknutí:
  -3(2x + 3)

Kontrola:
Pokud roznásobíme, dostaneme původní výraz:
-3(2x + 3) = -6x - 9. Úprava je správná.

Všimněte si, že při vytýkání mínusu se změní znaménka ve výrazu uvnitř závorky.

Postupné vytýkání

Vytýkáme příklad vícekrát zasebou, abychom dosáhli nejjednodušího výsledku.

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) × (x + y) - sčítání je komutativní, takže nevadí, že při zpětném roznásobení jsou členy v jiném pořadí
5a + 5b + ax + bx = 5(a + b) + x(a + b) = (a + b) × (5 + x)
3m - 3 + mn - n = 3(m - 1) + n(m - 1) = (m - 1) × (3 + n)

Tipy a triky

• Vždy dávejte pozor na znaménka při násobení, sčítání a odčítání.
• Při násobení více dvojčlenů postupujte systematicky (nejprve první dva, poté výsledek násobte dalším dvojčlenem).
• Zjednodušujte výsledky, pokud je to možné – sečtěte podobné členy.

Rozkladové vzorce

Vzorec (a + b)² = a² + 2ab + b²

(-a - b)² = (a + b)²

Příklady

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
(3a + 4)² = 9a² + 24a + 16

Vzorec (a - b)² = a² - 2ab + b²

(-a + b)² = (b - a)²

Příklady

(2x - 3)² = 4x² - 12x + 9
(3a - 4)² = 9a² - 24a + 16

Vzorec (a + b) · (a - b) = a² - b²

(a + b) · (a - b) = (a - b) · (a + b)

Příklad

(2 + 4x) · (2 - 4x) = 2² + 2 · 2 · 4x + 4x² = 4 + 16x + 16x²