Podobnost

Základy

(obraz se výdy značí čárkami u bodů)

první je obraz, druhý je vzor

Dva geometrické útvary jsou si podobné, jsou-li délky všech sobě si odpovídajících úseček ve stejném poměru.

• poměr se nazývá koeficient podobnosti, značí se k
• značka podobnosti "~", a nepodobnosti je to stejné, jen přeškrtnuté

Koeficient podobnosti

• počítá se vydělením jedné úsečky obrazu odpovídající úsečkou vzoru

Počítání koeficientu

řekněme, že |AB| = 4 cm a |A'B'| = 6 cm

k = = = 1,5

řekněme, že je |BC| = 8 a |B'C'| = 12

k = = = 1,5

řekněme, že je |AC| = 10 cm a |A'C'| = 15 cm

k = = = 1,5

ABC ~ A'B'C' (ABC je podobný A'B'C')

Podobnost úseček, kružnic a čtverců

• úsečky, kružnice a čtverce si jsou vždy podobné, mají jakoby jeden měřitelný rozměr (poloměr a průměr jsou vlastně to stejné, jen 2r = d)
• nikdy nenastane nerovnost

Čtverečné útvary

• vždy, když počítáme podobnost obsahů 2 obrazců, vyjde nám k²
• jednoduše zapamatovatelné je to s cm², m² atd. v obsazích

Věty podobnosti

SSS

• mají-li 2 trojúhelníky rovny poměry 3 stran, jsou si podobné (pokud jsou ve stejném poměru)
• např. 3 cm, 4 cm, 5 cm a 6 cm, 8 cm, 10 cm, jsou ve stejném poměru (1:2), k = 2

UU

• mají-li trojúhelníky 2 úhly shodné, pro podobné (jelikož má trojúhelník vždy 180° ve vn. úhlech, tak stačí 2, abychom znali 3. úhel)

SUS

• mají-li 2 odpovídající strany stejný poměr a jeden úhel shodný, jsou podobné (2 strany ve stejném poměru a pak shodný úhel u průsečíku stran)

Rozdělení úsečky

• rozdělené trojúhelníky si jsou vždy podobné

V poměru

• znamená to, že bude usečka rozdělena na díly

Na části

• rozdělujeme úsečku na shodné části

Změna úsečky

• vytvoříme z úsečky novou úsečku, která bude mezi starou v určitém poměru

Vztahy členů poměru

a:b (b je úsečka před změnou)

• pokud je a > b, výsledný obraz se zvětší
• pokud je a < b, výsledný obraz se zmenší

Vysvětlení poměru a sestrojení

Pokud chceme změnit úsečku v poměru 2:3, znamená to, že nová úsečka bude mít délku původní úsečky. Postup sestrojení je následující: nakreslíme původní úsečku a pomocnou úsečku libovolné délky. Pomocnou úsečku rozdělíme na 3 stejné části (součet členů poměru). Spojíme krajní body pomocné úsečky s konci původní úsečky rovnoběžkami. Průsečík rovnoběžek s původní úsečkou určí konec nové úsečky, která bude odpovídat požadovanému poměru. (Vážně jsem se snažil to vysvětlit, hodně lidí to nechápe.)

Souvisí s tímto