Soustavy rovnic

Soustavy rovnic patří mezi základní témata algebry. Jde o skupinu dvou nebo více rovnic, které mají společné neznámé. Cílem je najít hodnoty těchto neznámých, které vyhovují všem rovnicím najednou. Nejčastěji se řeší soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.

x + 2y = 0
x - 3 = -y

Řešení takové soustavy může být jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho.

Dosazovací metoda

Dosazovací metoda (neboli substituční) je velmi intuitivní způsob řešení soustav rovnic. Postupuje se takto:

1. Vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice.
2. Dosadíme tento výraz do druhé rovnice.
3. Vypočítáme druhou neznámou.
4. Dosadíme zpět a zjistíme první neznámou.

Příklady

1.

x + 2y = 0
x − 3 = -y

Vyjádříme třeba z první rovnice x:

x + 2y = 0 / - 2y
x = - 2y

Použijeme 2. rovnici a dosadíme za x jeho hodnotu:

-2y - 3 = -y / + 2y
-3 = y

Vezmeme hodnotu x a dosazením vypočítáme:

x = -2y
x = -2(-3)
x = 6

[6; -3]

2.

2x + y = 20
3x - 4y = 8

Vyjádříme třeba y z první rovnice:

2x + y = 20 / - 2x
y = 20 - 2x

Použijeme 2, rovnici a dosadíme za y jeho jodnotu:

3x - 4y = 8
3x - 4(20 - 2x) = 8 (roznásobíme)
3x - 80 + 8x = 8
11x - 80 = 8 / + 80
11x = 88 / ÷ 11
x = 8

Vezmeme hodnotu y a dosazením vypočítáme:

y = 20 - 2x
y = 20 - 2(8)
y = 20 - 16
y = 4

[8; 4]

Sčítací metoda

Sčítací metoda (někdy také eliminační) je způsob řešení soustav rovnic, při kterém se snažíme odstranit jednu z neznámých tak, že upravíme rovnice a následně je sečteme nebo odečteme.
Cílem je, aby se jedna neznámá “vyrušila”, a zůstala nám rovnice s jedinou proměnnou.

Postup:

1. Upravíme rovnice tak, aby u jedné neznámé byly opačné koeficienty.
2. Rovnice sečteme nebo odečteme → jedna neznámá vypadne.
3. Vypočítáme zbývající neznámou.
4. Dosadíme zpět a dopočítáme druhou.

Příklady

1.

x + 2y = 0
x − 3 = −y

Upravíme druhou rovnici tak, aby měla stejné členy jako první:

x − 3 = −y
Převedeme -y na levou stranu a -3 na pravou:
x + y = 3

Teď máme soustavu:

x + 2y = 0
x + y = 3

Odečteme druhou rovnici od první:

(x + 2y) − (x + y) = 0 − 3
x + 2y − x − y = −3
y = −3

Dosadíme y zpět do druhé rovnice:

x + y = 3
x − 3 = 3
x = 6

[6; −3]

2.

2x + y = 20
3x − 4y = 8

Chceme odstranit y – upravíme první rovnici tak, aby koeficienty u y byly opačné.

V první rovnici je y, ve druhé −4y.
Vynásobíme první rovnici 4:

8x + 4y = 80
3x − 4y = 8

Sečteme rovnice (4y + (−4y) = 0):

(8x + 4y) + (3x − 4y) = 80 + 8
11x = 88
x = 8

Dosadíme x zpět:

2x + y = 20
2(8) + y = 20
16 + y = 20
y = 4

[8; 4]