Soustavy rovnic
Soustavy rovnic patří mezi základní témata algebry. Jde o skupinu dvou nebo více rovnic, které mají společné neznámé. Cílem je najít hodnoty těchto neznámých, které vyhovují všem rovnicím najednou. Nejčastěji se řeší soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
x + 2y = 0
x - 3 = -y
Řešení takové soustavy může být jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho.
Dosazovací metoda
Dosazovací metoda (neboli substituční) je velmi intuitivní způsob řešení soustav rovnic. Postupuje se takto:
- Vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice.
- Dosadíme tento výraz do druhé rovnice.
- Vypočítáme druhou neznámou.
- Dosadíme zpět a zjistíme první neznámou.
Příklady
1.
x + 2y = 0
x − 3 = -y
Vyjádříme třeba z první rovnice x:
x + 2y = 0 / - 2y
x = - 2y
Použijeme 2. rovnici a dosadíme za x jeho hodnotu:
-2y - 3 = -y / + 2y
-3 = y
Vezmeme hodnotu x a dosazením vypočítáme:
x = -2y
x = -2(-3)
x = 6
[6; -3]
2.
2x + y = 20
3x - 4y = 8
Vyjádříme třeba y z první rovnice:
2x + y = 20 / - 2x
y = 20 - 2x
Použijeme 2, rovnici a dosadíme za y jeho jodnotu:
3x - 4y = 8
3x - 4(20 - 2x) = 8 (roznásobíme)
3x - 80 + 8x = 8
11x - 80 = 8 / + 80
11x = 88 / ÷ 11
x = 8
Vezmeme hodnotu y a dosazením vypočítáme:
y = 20 - 2x
y = 20 - 2(8)
y = 20 - 16
y = 4
[8; 4]
Sčítací metoda
Sčítací metoda (někdy také eliminační) je způsob řešení soustav rovnic, při kterém se snažíme odstranit jednu z neznámých tak, že upravíme rovnice a následně je sečteme nebo odečteme.
Cílem je, aby se jedna neznámá “vyrušila”, a zůstala nám rovnice s jedinou proměnnou.
Postup:
- Upravíme rovnice tak, aby u jedné neznámé byly opačné koeficienty.
- Rovnice sečteme nebo odečteme → jedna neznámá vypadne.
- Vypočítáme zbývající neznámou.
- Dosadíme zpět a dopočítáme druhou.
Příklady
1.
x + 2y = 0
x − 3 = −y
Upravíme druhou rovnici tak, aby měla stejné členy jako první:
x − 3 = −y
Převedeme -y na levou stranu a -3 na pravou:
x + y = 3
Teď máme soustavu:
x + 2y = 0
x + y = 3
Odečteme druhou rovnici od první:
(x + 2y) − (x + y) = 0 − 3
x + 2y − x − y = −3
y = −3
Dosadíme y zpět do druhé rovnice:
x + y = 3
x − 3 = 3
x = 6
[6; −3]
2.
2x + y = 20
3x − 4y = 8
Chceme odstranit y – upravíme první rovnici tak, aby koeficienty u y byly opačné.
V první rovnici je y, ve druhé −4y.
Vynásobíme první rovnici 4:
8x + 4y = 80
3x − 4y = 8
Sečteme rovnice (4y + (−4y) = 0):
(8x + 4y) + (3x − 4y) = 80 + 8
11x = 88
x = 8
Dosadíme x zpět:
2x + y = 20
2(8) + y = 20
16 + y = 20
y = 4
[8; 4]
Slovní úlohy
1.
Dědeček chová králíky a slepice. Celkem má 13 kusů domácích zvířat, která mají dohromady 40 nohou. Kolik má králíků a kolik slepic?
1 králík ______ 4 nohy 1 slepice ______ 2 nohy počet králíků ______ k počet slepic ______ s
k + s = 13 4k + 2s = 40
k + s = 13 k = 13 - s
4(13 - s) + 2s = 40 52 - 4s + 2s = 40 52 - 2s = 40 / - 52
- 2s = - 12 / ÷ (- 2) s = 6
k = 13 - 6 k = 7
Má 7 králíku a 6 slepic.
2.
Ze 2 míst vzdálených 90 km vyrazili současně proti sobě cyklista rychlostí 12 km/h a motocyklista rychlostí 60 km/h. Vypočítejte, za jak dlouho se setkají a jakou vzdáleností urazí cyklista do místa setkání?
| rychlost | čas | dráha | |
|---|---|---|---|
| cyklista | 12 | t | s |
| motocyklista | 60 | t | 90 - s |
12t = s 60t = 90 - s
- 60t = - 5s 60t = 90 - s 0 = 90 -6s 0 = - 90 + 6s 90 = 6s 15 = s
12t = 15 t = 4/3 h
Setkají se za 1 h a 15 min, urazí 15 km.
Úlohy na roztoky
Určete, kolik 30% a kolik 80% roztoku octa musíme smíchat pro získání 2,5 l 40% roztoku.
| látky | množství roztoku | koncentrace | množství látky |
|---|---|---|---|
| 80% roztok | x | 0,8 | 0,8x |
| 30% roztok | y | 0,3 | 0,3y |
| c | 2,5 | 0,4 | 2,5 × 0,4 |
*třetí poslední sloupec vzniká vynásebením předešlích 2, roznice vyplyne z 2. a 4. sloupce
x + y = 2,5 0,8x + 0,3y = 2,5 × 0,4
x + y = 2,5 / -y x = 2,5 -y
0,8(2,5 - y) + 0,3y = 2,5 × 0,4 / × 10 8(2,5 - y) + 3y = 2,5 × 4 20 - 8y + 3y = 10 20 - 5y = 10 / - 20 -5y = -10 / ÷ (-5) y = 2
x = 2,5 - y x = 2,5 - 2 x = 0,5
Budeme muset smíchat půl litru 80% roztoku s 2 litry 30% roztoku.