Lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice, která má tvar ax + b = 0, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá.

Lineární rovnice má vždy jedno řešení, které je reálné číslo.

Na procvičování doporučuji tento odkaz.

Úpravy lineárních rovnic

Při řešení lineárních rovnic se provádějí tyto úpravy:

• sčítání nebo odčítání stejného čísla na obou stranách rovnice
• násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem
• roznásobení závorek a úprava členů

Příklady řešení

Příklad 1: Řeš rovnici 2x - 4 = 10

1. Přičteme 4 k oběma stranám: 2x = 14
2. Vydělíme 2: x = 7

Příklad 2: Řeš rovnici 3(x - 2) = 9

1. Rozevřeme závorku: 3x - 6 = 9
2. Přičteme 6: 3x = 15
3. Vydělíme 3: x = 5

Příklad rovnice se zlomkem

Příklad 3: Řeš rovnici x/3 + 2 = 5

1. Odečteme 2 od obou stran: x/3 = 3
2. Vynásobíme obě strany 3: x = 9

Při řešení rovnic se zlomky je důležité:

• nejdříve odstranit všechny členy bez zlomků na jednu stranu rovnice
• vynásobit obě strany rovnice společným jmenovatelem všech zlomků
• dále řešit jako běžnou lineární rovnici
• pokud vyjde zlomek, převedeme ho jen do základního tvaru a máme výsledek

Slovní úlohy s rovnicemi

Základní

Lineární rovnice se často používají k řešení slovních úloh. Postupujeme následovně:

• zavedeme neznámou (x) - označíme hledaný údaj
• sestavíme rovnici - převedeme text do matematického zápisu
• vyřešíme rovnici - použijeme známé postupy
• odpovíme na otázku - nezapomeneme na jednotky a souvislost s úlohou

Příklad 1: Mysli si číslo. Když k němu přičteš 5 a výsledek vynásobíš 2, dostaneš 30. Jaké číslo si myslíš?

Řešení:

• x = hledané číslo
• rovnici: 2(x + 5) = 30
• roznásobíme závorku: 2x + 10 = 30
• odečteme 10: 2x = 20
• vydělíme 2: x = 10

Odpověď: Myšlené číslo je 10.

Příklad 2: V pokladničce mám třikrát více dvoukorunových mincí než pětikorunových. Celkem mám 155 Kč. Kolik mám kterých mincí?

Řešení:

• x = počet pětikorunových mincí
• 3x = počet dvoukorunových mincí
• rovnice: 5x + 2·3x = 155
• 5x + 6x = 155
• 11x = 155
• x = 15

Odpověď: 15 pětikorunových a 45 dvoukorunových mincí.

Kontrola: 15×5 + 45×2 = 75 + 90 = 155

Koláčové rovnice

Příklad 3: Turisté měli 3 denní výlet, první den ušli 1/3 trasy, druhý den 2/5 ze zbývající vzdálenosti. Na poslední den jim zbývalo 18 km.

Řešení:

• x = celková trasa
• první den = 1/3 x
• druhý den = 2/5 · 2/3 x = 4/15 x
• třetí den = 18 km
• rovnice: x = 1/3 x + 4/15 x + 18
• x = 5/15 x + 4/15 x + 18 = 9/15 x + 18
• x - 9/15 x = 18 → 6/15 x = 18
• x = 18 · 15/6 = 45

Odpověď: Celá trasa byla 45 km.

Pohybové úlohy proti sobě

Příklad 4: Města A a B vzdálena 120 km. První cyklista jede 20 km/h, druhý 25 km/h. Za jak dlouho se potkají?

Řešení:

• x = čas v hodinách
• rovnice: 20x + 25x = 120 → 45x = 120 → x = 2,67 h

Odpověď: 2 hodiny 40 minut

Pohybové úlohy s odlišným startem

Příklad 5: Z města A vyjíždí v 8:00 cyklista rychlostí 15 km/h, ve 12:00 druhý rychlostí 25 km/h. Kdy druhý dojede prvního?

Řešení:

• x = čas od startu druhého
• 15(x + 4) = 25x → 15x + 60 = 25x → 60 = 10x → x = 6

Odpověď: Druhý dojede prvního v 18:00

Úlohy o směsích

Příklad 1: 12 kg ovoce – jablka 30 Kč/kg, hrušky 40 Kč/kg, celkem 420 Kč.

Řešení:

• x = kg jablek, 12-x = kg hrušek
• rovnice: 30x + 40(12-x) = 420 → 30x + 480 - 40x = 420 → -10x = -60 → x = 6

Odpověď: 6 kg jablek a 6 kg hrušek

Příklad 2: Rýže 28 Kč/kg, čočka 36 Kč/kg, 10 kg směsi za 320 Kč.

Řešení:

• x = kg rýže, 10-x = kg čočky
• 28x + 36(10-x) = 320 → 28x + 360 -36x = 320 → -8x = -40 → x = 5

Odpověď: 5 kg rýže a 5 kg čočky

Příklad 3: Ořechy 25 Kč/kg, rozinky 35 Kč/kg, ořechů o 2 kg více, celkem 300 Kč.

Řešení:

• x = ořechy, x-2 = rozinky
• 25x + 35(x-2) = 300 → 25x + 35x - 70 = 300 → 60x = 370 → x ≈ 6,17

Odpověď: Přibližně 6,17 kg ořechů a 4,17 kg rozinek

Úlohy o společné práci

Příklad 1: Dělník A 6 h, B 8 h. Za jak dlouho spolu?

Řešení:

• 1/6 + 1/8 = 7/24 práce/h
• 7/24 · x = 1 → x = 24/7 ≈ 3,43 h

Odpověď: 3 hodiny 26 minut

Příklad 2: Dělník A 5 h, B 10 h. Po 2 h A odejde, B dokončí.

Řešení:

• Za 1 h: 1/5 + 1/10 = 3/10
• 2 h → 6/10 = 3/5, zbývá 2/5
• B: 1/10/h → 2/5 ÷ 1/10 = 4 h

Odpověď: 4 hodiny

Příklad 3: Bazén, kohoutek 1 = 12 h, kohoutek 2 = 8 h, po 3 h první zavřen, druhý dokončí.

Řešení:

• Za 1 h: 1/12 + 1/8 = 5/24
• 3 h → 15/24 = 5/8, zbývá 3/8
• Druhý: 1/8/h → 3/8 ÷ 1/8 = 3 h

Odpověď: 3 hodiny

Příklad 4: Pracovníci 4 h, 6 h, 12 h. Za jak dlouho spolu?

Řešení:

• Za 1 h: 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2
• x = 1 ÷ 1/2 = 2 h

Odpověď: 2 hodiny

Rovnice se vzorcem

• rovnice, které obrahují něco na druhou, ale rozkladem se z toho členy, které už umíme vypočítat (odečtením)

(x + 2)² = x² + 5x + 6 x² + 4x + 4 = x² + 5x + 6 / -x² 4x + 4 = 5x + 6 / -4x 4 = x + 6 / -6 -2 = x

Rovnice v součinovém tvaru

Hledáme, kdy je levá strana rovna nule.

rovnice: (x + 5) × (x + 8) = 0
uděláme z toho 2 rovnice:
x + 5 = 0
x + 8 = 0
vyřešíme:
x = -5
x = -8
výsledky:
x₁ = -5
x₂ = -8

Máme 2 výsledky, protože jakmile je jen jednou nula na straně x, vždy se to rovná (-5 + 5, -8 + 8).

Vyjádření neznámé ze vzorce

Chceš-li vyjádřit neznámou, musíš ji osamostatnit – tedy dostat ji na jednu stranu rovnice a ostatní přenést na druhou, pomocí opačných početních operací. Pořadí početních operací je zde obrácené.

vyjádři v: s = v × t
s = v × t /÷ t (jelikož v a t se mezi sebou násobí)
s/t = v

vyjádři ϱ (ró) a g: p = hϱg
p = hϱg /÷ hg
p/hg = ϱ

vyjádři v: S = 2πrv + 2πr²
S = 2πrv + 2πr² /- 2πr²
2 - 2πr² = 2πrv /÷ 2πr
2 - 2πr²/2πr = v