Rozklad mnohočlenu na součin je technika, která umožňuje přepsat mnohočlen jako součin dvou nebo více výrazů. Může být prováděn pomocí vytýkání společného faktoru nebo pomocí vzorců. Při vytýkání se z mnohých členů vytkne společný faktor, například 3x² + 6x = 3x(x+2). Vzorce, jako součet a rozdíl čtverců, umožňují rozklad typu a² − b² = (a − b) · (a + b). Tyto metody usnadňují řešení rovnic a úpravy algebraických výrazů.
*NSD = největší společný dělitel (zde více)
Vytýkání
Co je vytýkání?
Vytýkání je matematická technika, která umožňuje zjednodušit algebraické výrazy. Spočívá v nalezení společného činitele, který je přítomen ve všech členech výrazu, a jeho vyjmutí před závorku. Tato metoda je často používána při řešení rovnic nebo při úpravách výrazů, aby byly přehlednější a snadněji zpracovatelné.
Například ve výrazu 6x + 9 můžeme vidět, že obě čísla, 6 a 9, jsou dělitelná číslem 3. Toto číslo tedy můžeme „vytknout" před závorku.
Jak na to?
Postup při vytýkání lze shrnout do několika kroků:
- Najděte největší společný dělitel (NSD): Určete číslo nebo výraz, který je společným dělitelem všech členů daného výrazu.
- Vytkněte NSD před závorku: Toto číslo nebo výraz zapíšete před závorku. V závorkách zůstane každý člen výrazu vydělený NSD.
- Zkontrolujte výsledek: Roznásobte závorku zpět, abyste se ujistili, že jste výrazy správně upravili.
Tento proces lze aplikovat na jakýkoliv algebraický výraz, pokud existuje společný činitel.
Příklady
Uvažujme výraz: 6x + 9
Kroky:
- Identifikujeme NSD pro čísla 6 a 9: je to 3.
- Vytkneme číslo 3 před závorku: 6x + 9 = 3(2x + 3).
- Výsledný výraz po vytknutí: 3(2x + 3).
Kontrola: Pokud znovu roznásobíme, dostaneme původní výraz:
3(2x + 3) = 6x + 9. Úprava je tedy správná.
Příklad 1: Vytkněte ve výrazu 8x² + 12x
- NSD pro 8 a 12 je 4. Proměnná x je společná v obou členech.
- Výsledkem je: 4x(2x + 3).
Příklad 2: Zjednodušte výraz 15y³ - 10y² + 5y
- NSD pro čísla 15, 10 a 5 je 5. Nejnižší mocnina proměnné y je y.
- Výsledkem je: 5y(3y² - 2y + 1).
Vytýkání mínusu
Příklad: Zjednodušte výraz -6x - 9
- Identifikujeme, že obě čísla, -6 a -9, jsou dělitelná -3.
- Vytkneme -3 před závorku: -6x - 9 = -3(2x + 3).
- Výsledný výraz po vytknutí: -3(2x + 3).
Kontrola: Pokud roznásobíme, dostaneme původní výraz:
-3(2x + 3) = -6x - 9. Úprava je správná.
Všimněte si, že při vytýkání mínusu se změní znaménka ve výrazu uvnitř závorky.
Rozkladové vzorce
Vzorec (a + b)² = a² + 2ab + b²
(-a - b)² = (a + b)²
Příklady
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
(3a + 4)² = 9a² + 24a + 16
Vzorec (a - b)² = a² - 2ab + b²
(-a + b)² = (b - a)²
Příklady
(2x - 3)² = 4x² - 12x + 9
(3a - 4)² = 9a² - 24a + 16
Vzorec (a + b) · (a - b) = a² - b²
(a + b) · (a - b) = (a - b) · (a + b)
Příklad
(2 + 4x) · (2 - 4x) = 2² + 2 · 2 · 4x + 4x² = 4 + 16x + 16x²