Lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice, která má tvar ax + b = 0, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá.

Lineární rovnice má vždy jedno řešení, které je reálné číslo.

Na procvičování doporučuji tento odkaz.

Úpravy lineárních rovnic

Při řešení lineárních rovnic se provádějí tyto úpravy:

• sčítání nebo odčítání stejného čísla na obou stranách rovnice
• násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem
• roznásobení závorek a úprava členů

Příklady řešení

Příklad 1: Řeš rovnici 2x - 4 = 10

1) Přičteme 4 k oběma stranám: 2x = 14

2) Vydělíme 2: x = 7

Příklad 2: Řeš rovnici 3(x - 2) = 9

1) Rozevřeme závorku: 3x - 6 = 9

2) Přičteme 6: 3x = 15

3) Vydělíme 3: x = 5

Příklad rovnice se zlomkem

Příklad 3: Řeš rovnici $\frac{x}{3}+\; 2\; =\; 5$

1) Odečteme 2 od obou stran: $\frac{x}{3}=\; 3$

2) Vynásobíme obě strany 3 (tím se zbavíme zlomku): x = 9

Při řešení rovnic se zlomky je důležité:

• nejdříve odstranit všechny členy bez zlomků na jednu stranu rovnice
• vynásobit obě strany rovnice společným jmenovatelem všech zlomků
• dále řešit jako běžnou lineární rovnici
• pokud vyjde zlomek, převedeme ho jen do základního tvaru a máme výsledek

Slovní úlohy s rovnicemi

Základní

Lineární rovnice se často používají k řešení slovních úloh. Při řešení postupujeme následovně:

• zavedeme neznámou (x) - označíme hledaný údaj
• sestavíme rovnici - převedeme text do matematického zápisu
• vyřešíme rovnici - použijeme známé postupy
• odpovíme na otázku - nezapomeneme na jednotky a souvislost s úlohou

Příklad 1: Mysli si číslo. Když k němu přičteš 5 a výsledek vynásobíš 2, dostaneš 30. Jaké číslo si myslíš?

Řešení:

• x = hledané číslo
• sestavíme rovnici: 2(x + 5) = 30
• roznásobíme závorku: 2x + 10 = 30
• odečteme 10: 2x = 20
• vydělíme 2: x = 10

Odpověď: Myšlené číslo je 10.

Příklad 2: V pokladničce mám třikrát více dvoukorunových mincí než pětikorunových. Celkem mám 155 Kč. Kolik mám kterých mincí?

Řešení:

• x = počet pětikorunových mincí
• 3x = počet dvoukorunových mincí
• sestavíme rovnici: 5x + 2(3x) = 155
• roznásobíme: 5x + 6x = 155
• sečteme podobné členy: 11x = 155
• vydělíme 11: x = 15

Odpověď: V pokladničce je 15 pětikorunových a 45 dvoukorunových mincí.

Kontrola: 15 × 5 Kč + 45 × 2 Kč = 75 Kč + 80 Kč = 155 Kč

Koláčové rovnice

Příklad 3 (koláčová rovnice): Turisté měli 3 denní výlet, první den ušli 1/3 trasy, druhý den 2/5 ze zbývající vzdálenosti. Na poslední den jim zbývalo 18 km. Jak dlouhá byla trasa? Kolik ušli každý den? Řešení:

• x ... celkem trasa
• první den ... 1/3x
• druhý den 2/5x × 2/3 (zbývající trasa)
• třetí den 18 km
• sestavíme rovnici: x = 1/3x + 2/5x × 2/3 + 18
• zkrátíme rovnici: x = 1/3x + 4/15x + 18
• vynásobíme 15: 15x = 5x + 4x + 270
• zkrátíme: 15x = 9x + 270
• odečteme 9x: 6x = 270
• vydělíme 6: x = 45

Odpověď: Celá trasa byla 45 km.

Pohybové úlohy proti sobě

Příklad 4: Z měst A a B, která jsou od sebe vzdálena 120 km, vyjedou současně proti sobě dva cyklisté. První jede rychlostí 20 km/h, druhý 25 km/h. Za jak dlouho se potkají?

Řešení:

• x = čas v hodinách do setkání
• první ujede: 20x km
• druhý ujede: 25x km
• sestavíme rovnici: 20x + 25x = 120
• 45x = 120
• x = 2,67

Odpověď: Cyklisté se potkají za 2 hodiny a 40 minut od startu.

Pohybové úlohy s odlišným časem startu a za sebou

Příklad 5: Z města A vyjede v 8:00 cyklista rychlostí 15 km/h. Ve 12:00 za ním vyrazí z téhož místa druhý cyklista rychlostí 25 km/h. V kolik hodin druhý cyklista dojede prvního?

Řešení:

• x = počet hodin od startu druhého cyklisty
• první ujede: 15(x + 4) km (4 hodiny navíc)
• druhý ujede: 25x km
• sestavíme rovnici: 15(x + 4) = 25x
• roznásobíme závorku: 15x + 60 = 25x
• odečteme 15x: 60 = 10x
• x = 6

Odpověď: Druhý cyklista dojede prvního v 18:00 (6 hodin po svém startu).

Úlohy o směsích

Lineární rovnice lze využít i při řešení úloh o směsích, například při počítání celkové ceny ovoce, když známe ceny a počty jednotlivých druhů.

Příklad 1: V obchodě koupili celkem 12 kg ovoce – jablek a hrušek. Jablka stojí 30 Kč za kg, hrušky 40 Kč za kg. Kolik kilogramů jablek a kolik kilogramů hrušek koupili, když celkem zaplatili 420 Kč?

Řešení:

• x = počet kg jablek
• počet kg hrušek = 12 - x
• rovnice: 30x + 40(12 - x) = 420
• 30x + 480 - 40x = 420
• -10x + 480 = 420
• -10x = -60
• x = 6
• počet kg hrušek = 12 - 6 = 6

Odpověď: Koupili 6 kg jablek a 6 kg hrušek.

Příklad 2: Rýže stojí 28 Kč za kg, čočka 36 Kč za kg. Kolik kg rýže a kolik kg čočky koupíme, když chceme celkem 10 kg směsi za 320 Kč?

Řešení:

• x = počet kg rýže
• počet kg čočky = 10 - x
• rovnice: 28x + 36(10 - x) = 320
• 28x + 360 - 36x = 320
• -8x + 360 = 320
• -8x = -40
• x = 5
• počet kg čočky = 10 - 5 = 5

Odpověď: Koupíme 5 kg rýže a 5 kg čočky.

Příklad 3: Ořechy stojí 25 Kč za kg, rozinky 35 Kč za kg. Kolik kg ořechů a kolik kg rozinek koupíme, když ořechů bude o 2 kg více než rozinek a celkem zaplatíme 300 Kč?

Řešení:

• x = počet kg ořechů
• počet kg rozinek = x - 2
• rovnice: 25x + 35(x - 2) = 300
• 25x + 35x - 70 = 300
• 60x - 70 = 300
• 60x = 370
• x = 6,17
• počet kg rozinek = 6,17 - 2 = 4,17

Odpověď: Koupíme přibližně 6,17 kg ořechů a 4,17 kg rozinek.

Úlohy o společné práci

Lineární rovnice lze využít i při řešení úloh o společné práci, kdy více pracovníků nebo strojů pracuje společně na jednom úkolu. Každý má jiný výkon (za jak dlouho by práci zvládl sám).

Příklad 1: Dělník A by sám vykonal práci za 6 hodin, dělník B za 8 hodin. Za jak dlouho práci vykonají společně?

Řešení:

• Za 1 hodinu udělají společně: 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24 práce
• Celou práci (1) udělají za x hodin: (1/6 + 1/8)·x = 1
• 7/24·x = 1
• x = 24/7 ≈ 3,43

Odpověď: Společně práci zvládnou za přibližně 3 hodiny a 26 minut.

Příklad 2: Dělník A by práci vykonal sám za 5 hodin, dělník B za 10 hodin. Po 2 hodinách společné práce dělník A odejde. Za jak dlouho dokončí práci dělník B sám?

Řešení:

• Za 1 hodinu společně: 1/5 + 1/10 = 2/10 + 1/10 = 3/10 práce
• Za 2 hodiny společně: 2·3/10 = 6/10 = 3/5 práce
• Zbývá dokončit: 1 - 3/5 = 2/5 práce
• Dělník B sám: 1/10 práce za 1 hodinu
• 2/5 : 1/10 = (2/5)·10 = 4 hodiny

Odpověď: Dělník B dokončí zbytek práce za 4 hodiny.

Příklad 3: Dva kohoutky napouštějí bazén. První by ho napustil za 12 hodin, druhý za 8 hodin. Po 3 hodinách společného napouštění se první kohoutek zavře. Za jak dlouho napustí zbytek druhý kohoutek?

Řešení:

• Za 1 hodinu společně: 1/12 + 1/8 = 2/24 + 3/24 = 5/24 bazénu
• Za 3 hodiny: 3·5/24 = 15/24 = 5/8 bazénu
• Zbývá napustit: 1 - 5/8 = 3/8 bazénu
• Druhý kohoutek sám: 1/8 bazénu za 1 hodinu
• 3/8 : 1/8 = 3 hodiny

Odpověď: Druhý kohoutek napustí zbytek bazénu za 3 hodiny.

Příklad 4: Tři pracovníci by vykonali práci samostatně za 4 h, 6 h a 12 h. Za jak dlouho ji vykonají společně?

Řešení:

• Za 1 hodinu společně: 1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2 práce
• Celou práci udělají za x hodin: (1/2)·x = 1
• x = 2

Odpověď: Společně práci zvládnou za 2 hodiny.